Нужно. Авто должно стоять на учёте в регистрационном подразделении ГАИ по месту жительства собственника. Для информации: так как Москва и Московская область - разные субъекты РФ, то номерные знаки будут заменены в соответствии с цифровыми кодами субъектов. Время на постановку на учёт по новому месту жительства - 5 дней с даты снятия с учёта по старому месту жительства. Срок, в течение которого собственник должен перерегистрировать автомобиль, Правилами о порядке регистрации ТС не определён, но предполагается, что собственник сделает это в разумный срок, так что затягивать не стоит, мало ли какие потом могут быть проблемы.
Да какие могут быть проблемы? Проблемы возникнуть могут лишь если отберут водительское или техосмотр надо проходить будет, да и то, если у гаишников есть информация о смене места жительства. А вот сняться с учета и поставиться на учет, да еще если номера классные - гораздо больше проблем